制圖：沈亦伶

數(shù)學(xué)是一個(gè)極富魅力的世界。在人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然、追求美好生活的過(guò)程中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著重要作用。雖然不懂?dāng)?shù)學(xué)也能過(guò)得很愉快，但具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能幫助我們更好地認(rèn)識(shí)世界、理解世界、欣賞世界。

數(shù)學(xué)，古老又年輕。在信息時(shí)代，數(shù)學(xué)的重要性與日俱增，展現(xiàn)出前所未有的活力。推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的，既有大量未解決的舊問(wèn)題，也有社會(huì)科技發(fā)展涌現(xiàn)的新問(wèn)題，從事數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的人數(shù)也在不斷增加。

數(shù)學(xué)的內(nèi)涵是什麼

數(shù)學(xué)研究量與形，量與形是物質(zhì)的基本屬性，這決定了數(shù)學(xué)的價(jià)值和意義。經(jīng)過(guò)幾千年的發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一個(gè)龐大的學(xué)科，通常分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（即純數(shù)學(xué)）和應(yīng)用數(shù)學(xué)兩大部分?；A(chǔ)數(shù)學(xué)又大致可分為代數(shù)（含數(shù)論）、幾何（含拓?fù)洌?、分析?shù)學(xué)（以微積分為基礎(chǔ)）等。

毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)的起源是計(jì)數(shù)，也就是數(shù)物品。開(kāi)始時(shí)，人們對(duì)數(shù)的觀念與具體事物聯(lián)系在一起，比如一棵樹(shù)、一塊石頭、兩個(gè)人、兩條魚(yú)等。逐漸地，人們發(fā)現(xiàn)一棵樹(shù)、一塊石頭等具體事物共同的數(shù)字屬性，數(shù)的抽象概念就這樣形成了。

產(chǎn)生數(shù)的方式是無(wú)窮無(wú)盡的，量的比值是數(shù)，面積是數(shù)，體積是數(shù)，溫度是數(shù)，時(shí)間是數(shù)……今天我們能強(qiáng)烈感受到數(shù)字化的影響，其實(shí)數(shù)字化很久以前就有了，如門(mén)牌號(hào)、車(chē)牌號(hào)、車(chē)次等。數(shù)字化的本質(zhì)是編碼，賦予數(shù)字以含義。例如一幅照片的數(shù)字化就是把照片分成很多小方塊，每一個(gè)小方塊看作一點(diǎn)，用三個(gè)數(shù)字表示其紅綠藍(lán)的成分。所謂像素就是這樣的小方塊的個(gè)數(shù)，像素越高，表明數(shù)字化做得越精細(xì)。重要的是，數(shù)字可以運(yùn)算，經(jīng)過(guò)數(shù)字化后，照片也就可以通過(guò)數(shù)學(xué)的手段進(jìn)行變化了。

數(shù)，有無(wú)窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引著最富智慧的數(shù)學(xué)家和業(yè)余愛(ài)好者。研究數(shù)的分支是數(shù)論，這一領(lǐng)域一直很活躍，近年來(lái)取得巨大進(jìn)展，包括費(fèi)馬大定理的証明、孿生素?cái)?shù)猜想的突破、朗蘭茲綱領(lǐng)的進(jìn)展等。素?cái)?shù)是數(shù)論研究的一個(gè)永恆主題，其神秘的結(jié)構(gòu)和規(guī)律始終挑戰(zhàn)著人類(lèi)的智力。

形是數(shù)學(xué)分支幾何關(guān)注的對(duì)象。這個(gè)世界充滿了各種各樣的形，藍(lán)天、白雲(yún)、青山、流水、高樓、動(dòng)物、植物有各自的形，它們都富有美感、令人愉悅。公元前300多年，希臘人歐幾裡得採(cǎi)用公理化體系，系統(tǒng)整理了古希臘人的數(shù)學(xué)成就，寫(xiě)成了《幾何原本》。在以后2000多年的歷史中，它都是一部標(biāo)準(zhǔn)的教科書(shū)。一直到19世紀(jì)，人們都相信這種幾何準(zhǔn)確描述了我們這個(gè)世界。但是，非歐幾何的出現(xiàn)讓人們知道幾何原來(lái)可以有很多種。這立即帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題，哪一種幾何能正確描述我們這個(gè)世界的空間呢？廣義相對(duì)論說(shuō)我們生活的空間是彎曲的，需要用黎曼幾何描述，弦論則認(rèn)為我們的時(shí)空是十維的。

現(xiàn)實(shí)空間遠(yuǎn)比歐幾裡得幾何中的空間復(fù)雜。當(dāng)把幾何理解為一種結(jié)構(gòu)，就擺脫了幾何是現(xiàn)實(shí)空間的抽象這個(gè)限制，幾何的內(nèi)涵會(huì)變得異常豐富和遼闊。很多對(duì)象都出人意料地有非常好的幾何結(jié)構(gòu)，如一個(gè)空間所有過(guò)原點(diǎn)的直線全體的幾何結(jié)構(gòu)就是射影空間。

現(xiàn)實(shí)世界日新月異，充滿變化。微積分就是研究變化的數(shù)學(xué)，基本概念有極限、微分和積分。微積分及在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的分析數(shù)學(xué)，成為認(rèn)識(shí)和探索世界奧秘最有力的數(shù)學(xué)工具之一，為數(shù)學(xué)帶來(lái)全面的大發(fā)展。

求解方程一直強(qiáng)有力地推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。剛開(kāi)始是多項(xiàng)式方程，在探究多項(xiàng)式方程的過(guò)程中，代數(shù)數(shù)論、代數(shù)、代數(shù)幾何等分支產(chǎn)生了。微積分出現(xiàn)后，微分方程也就自然出現(xiàn)了。求解微分方程在數(shù)學(xué)中非常重要，因?yàn)榇笞匀坏暮芏鄪W秘是通過(guò)微分方程呈現(xiàn)的，著名的有描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)的納維—斯托克斯方程、描寫(xiě)電磁運(yùn)動(dòng)的麥克斯韋方程、廣義相對(duì)論中的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程、量子力學(xué)中的薛定諤方程等。

應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉

應(yīng)用數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的重要組成部分。在20世紀(jì)以前，雖然很多數(shù)學(xué)工作與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)，但應(yīng)用數(shù)學(xué)這個(gè)名稱用得很少，並沒(méi)有形成特別有影響的獨(dú)立分支。進(jìn)入20世紀(jì)后，應(yīng)用數(shù)學(xué)快速成長(zhǎng)，出現(xiàn)了計(jì)算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、控制論、組合數(shù)學(xué)、博弈論、信息論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等多個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)進(jìn)一步推動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展，還產(chǎn)生了很多交叉方向，如計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)、人工智能等。生物科學(xué)的迅速發(fā)展也涌現(xiàn)很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，現(xiàn)在有生物數(shù)學(xué)這一交叉分支，它關(guān)注的是用數(shù)學(xué)模型理解生物現(xiàn)象。物理一直是數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大推動(dòng)力量。在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)物理成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在過(guò)去幾十年間非?；钴S，成果顯著。它主要關(guān)注規(guī)范場(chǎng)論、量子場(chǎng)論、弦論、統(tǒng)計(jì)物理等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

我們現(xiàn)在非常強(qiáng)調(diào)交叉，原因在於不同學(xué)科其實(shí)是現(xiàn)實(shí)不同側(cè)面的反映，隻有結(jié)合起來(lái)，我們才能對(duì)現(xiàn)實(shí)有更全面的認(rèn)知。就像“盲人摸象”，每個(gè)學(xué)科可能隻摸到一個(gè)局部、一個(gè)側(cè)面，把所有的部分合起來(lái)，才會(huì)形成完整的“象”。在不同分支、不同學(xué)科交叉的過(guò)程中，數(shù)學(xué)也在不斷產(chǎn)生新的概念、方法、理論等。

如今人類(lèi)社會(huì)正步入人工智能時(shí)代，數(shù)學(xué)在其中起到的作用更是基礎(chǔ)性的。計(jì)算數(shù)學(xué)、優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支發(fā)揮突出作用，數(shù)論、微分幾何等更多數(shù)學(xué)分支也不可或缺。人工智能也有力促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展並提出很多極具挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中之一是人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如面向大數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)、人工智能大模型的數(shù)學(xué)機(jī)理等。

培育和提升大眾數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在現(xiàn)代社會(huì)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)已經(jīng)成為公民的基本素養(yǎng)，世界各國(guó)都非常重視。數(shù)學(xué)有助於培養(yǎng)人的邏輯推理能力，因?yàn)閿?shù)學(xué)的大廈是通過(guò)邏輯支撐的，邏輯把數(shù)學(xué)不同的內(nèi)容組織在一起。當(dāng)然，數(shù)學(xué)中的邏輯主要是演繹和歸納，是形式邏輯，現(xiàn)實(shí)的邏輯要復(fù)雜得多，僅有形式邏輯是不夠的。

對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而言，尤為重要的是獲得數(shù)學(xué)思維。掌握了數(shù)學(xué)的思維方式、知道怎麼考慮問(wèn)題等，比單純獲得數(shù)學(xué)知識(shí)要有價(jià)值得多。數(shù)學(xué)直覺(jué)是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分。歐拉解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的思維可以說(shuō)是數(shù)學(xué)思維的典型例子，歐拉把陸地抽象成點(diǎn)，橋抽象成線段，從而揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而解決問(wèn)題。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，最好還能了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，它能幫助我們深入認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。從數(shù)學(xué)史中我們可以了解到數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程一點(diǎn)都不枯燥，雖探索艱辛卻充滿了有趣的故事、生動(dòng)的人物、引人入勝的例子。比如，數(shù)學(xué)史上關(guān)於數(shù)與形的觀念變化就很有意思，無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)、虛數(shù)都經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)曲折的接受過(guò)程。

理解數(shù)學(xué)符號(hào)體系的意義也很重要。恰當(dāng)?shù)姆?hào)體系價(jià)值巨大，數(shù)學(xué)發(fā)展史上經(jīng)常出現(xiàn)記號(hào)與數(shù)學(xué)理論進(jìn)展密不可分的情況。萊布尼茨在微積分中引入的記號(hào)就是一個(gè)典范。在16世紀(jì)以前，幾乎沒(méi)人考慮過(guò)在代數(shù)領(lǐng)域系統(tǒng)使用符號(hào)，致使代數(shù)發(fā)展緩慢﹔16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在這方面作出了突出貢獻(xiàn)，此后代數(shù)思想才得以更有效地表達(dá)。

在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，很多數(shù)學(xué)家的哲學(xué)觀也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”“數(shù)統(tǒng)治著宇宙”，柏拉圖學(xué)派認(rèn)為“純粹思想的最高形式是數(shù)學(xué)”，高斯說(shuō)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”，等等。這些觀點(diǎn)對(duì)科學(xué)文化有巨大影響，很多杰出的科學(xué)家，甚至人文學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)都有一種敬畏。數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)時(shí)的心理活動(dòng)和背后的出發(fā)點(diǎn)同樣很有意思。比如，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何（即坐標(biāo)幾何）與他的批判精神是分不開(kāi)的。他說(shuō)：“我決心離棄僅有抽象的幾何，即僅為練習(xí)頭腦設(shè)立問(wèn)題的幾何﹔這樣做，是為了研究另一種幾何，旨在自然現(xiàn)象的解釋。”

好的科普作品對(duì)提高大眾的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常重要。許多國(guó)家都重視數(shù)學(xué)科普，除了專門(mén)的科普工作者，還有很多杰出的學(xué)者也投身其中，推出形式多樣的高質(zhì)量科普作品，讓大眾覺(jué)得數(shù)學(xué)有趣、可親，沒(méi)那麼神秘，可以為普通人所理解。這方面我們還有提升空間。

（作者為中國(guó)科學(xué)院院士、中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)）

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《什麼是數(shù)學(xué)——對(duì)思想和方法的基本研究》：R·柯朗、H·羅賓著，I·斯圖爾特修訂，左平、張飴慈譯﹔復(fù)旦大學(xué)出版社出版。

《 人民日?qǐng)?bào) 》（ 2024年08月27日 20 版）

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